벡터는 물론 함수, 극한, 미적분까지

‘물리’와 ‘수학’ 둘 다 잡는, 신개념 물리수학책

수학 공식과 물리 공식을 무작정 따로 외우는 학습은 복잡한 응용문제 앞에서 무너지기 쉬우며, 학습자의 흥미를 떨어뜨리는 가장 큰 원인이다. 본질적으로 수학과 물리는 긴밀한 공생 관계이며, 특히 미적분은 뉴턴의 운동 법칙부터 순간속도, 역학적 에너지 보존법칙에 이르기까지 복잡한 물리 현상을 풀어내는 중요한 언어이다. 이 책은 수학과 물리의 견고한 연결고리를 찾아내어 공식 암기에 지친 독자들에게 자연과학을 바라보는 새로운 시각을 제공한다. 가속도, 원심력, 단진동 등의 물리 개념이 미적분이라는 수학적 도구를 통해 어떻게 명쾌하게 설명되는지 그 흐름을 체계적으로 증명한다.

《물리가 쉬워지는 미적분》은 미적분의 기초가 없는 독자도 막힘없이 진도를 따라갈 수 있도록 친절하고 직관적인 설명 방식을 한층 더 강화했다. 일반적인 물리수학책들이 일회성 설명에 그치는 것과 달리, 이 책은 핵심 공식을 반복해서 노출하는 입체적인 구성을 취해 독자가 읽는 것만으로도 자연스럽게 복습이 되도록 돕는다. 평균속도와 순간속도의 차이에서 시작해 미분방정식으로 뉴턴의 운동법칙을 풀어내기까지 차근차근 서술되어 있어, 독자는 일대일 과외를 받듯 수학과 물리의 세계를 자연스럽게 이해할 수 있다.

[목 차]

시작하며

 

제1장 미분

 

01 미분계수_‘한없이 가까워지는 값’, 미분․적분의 시작

․ 물리에 필요한 수학_순간속도

․ 기출문제

․ Q & A

 

02 도함수_‘원인’, ‘원인’의 ‘원인’까지 파악한다

․ 물리에 필요한 수학_위치․속도․가속도

․ 기출문제

․ Q & A

 

03 삼각함수의 극한_어떤 극한을 위한 새로운 각도 표시법

․ 물리에 필요한 수학_등속원운동의 가속도

․ 기출문제

․ Q & A

 

04 곱의 미분_‘작은 것’ב작은 것’은 무시할 수 있다

․ 물리에 필요한 수학_운동방정식과 각운동량

․ 기출문제

․ Q & A

 

05 삼각함수 미분과 합성함수 미분_‘어림하는 힘’의 정체

․ 물리에 필요한 수학_코리올리 힘과 원심력

․ 기출문제

․ Q & A

 

제2장 적분

 

01 미적분의 기본정리_과학사의 대발견

․ 물리에 필요한 수학_등가속도 직선운동

․ 기출문제

․ Q & A

 

02 치환적분법_기호의 왕, 라이프니츠

․ 물리에 필요한 수학_에너지 보존법칙과 운동량 보존법칙

․ 기출문제

․ Q & A

제3장 미분방정식

01 미분방정식과 모델화_현실의 모델화, 미래 예측법

․ 물리에 필요한 수학_단진동

․ 기출문제

․ Q & A

 

02 일계 미분방정식-변수분리형_‘풀리는’ 미분방정식 기본형

․ 물리에 필요한 수학_공기저항을 받으며 낙하하는 물체 운동

․ 기출문제

․ Q & A

 

03 이계 선형 동차 미분방정식_오일러 공식으로 ‘근의 공식’을 얻는다

․ 물리에 필요한 수학_감쇠진동

․ 예상문제

․ Q & A

 

마치며

[본 문]

수학이나 물리는 평생학습을 하기에 가장 적합한 학문이라고 생각해요. 종이와 연필과 참고서가 있으면 수준에 맞춰, 언제나 하고 싶을 때 하고 싶은 만큼 다시 배워나갈 수 있거든요. 학생 때 수학을 포기했던 사람이나 완전히 잊어버린 사람이야말로 이 책을 꼭 읽었으면 좋겠어요. 수학과 물리를 함께 배우는 묘미를 알기 바랍니다.

시작하며_ p. 10

 

 

미분이란 ‘작게 나눈다’는 뜻이다. 어떤 함수를 미분한다는 것은 결국 함수를 세세하게 나누고, 그래프에 있는 각 점에서의 접선의 기울기를 조사하여 함수의 값에 변화를 불러오는 것의 정체를 알아내려 하는 계산이라고 말할 수 있다. 우리는 변화의 원인을 알고 싶을 때 미분하여 그 도함수를 구한다.

가속도와 이계도함수_ pp. 54~55

 

 

적분은 무려 기원전 1800년 무렵으로 거슬러 올라가야 그 발단을 찾을 수 있다. 적분이 이토록 빨리 생겨난 이유는 한마디로 면적을 구하기 위해서였다. 예를 들어 유산으로 상속받은 토지를 형제가 평등하게 나눠가질 경우, 토지의 경계선이 꼭 직선일 수는 없기에 곡선으로 둘러싸인 토지의 면적을 정확히 계산하는 기술이 필요했을 것이다. 또한 논이나 밭에 조세를 합리적으로 부과하기 위해서도 이런 계산이 필요하였다. 그래서 만들어진 것이 적분이다. 적분이라는 것은 오랫동안 면적을 구하는 수법을 가리키는 말이었다.

적분이란?_ p. 198

 

 

운동방정식의 치환적분을 통해 (고등학교에서 주입식으로 가르치는) 일, 운동에너지, 중력이나 용수철의 힘에 의한 위치에너지가 각자 ‘에너지 보존법칙’을 만족시키도록 정의된 사실을 발견하는 것, 나는 그것이야말로 미분․적분을 사용하여 물리를 배울 때 느끼는 감동 중 최고가 아닐까 싶다.

에너지 보존법칙과 운동량 보존법칙_ p. 256

 

 

미분방정식에서는 이제부터 풀려는 함수를 미지함수라고 한다. 미지함수의 도함수 중에서 가장 높은 미분의 계수(미분된 횟수)가 n일 때, 이 식을 n계 미분방정식이라고 한다(p. 289). 또한 물리에 등장하는 미분방정식 대부분은 일계 미분방정식과 이계 미분방정식이므로, 이 책에서는 이 둘만 다룬다.

미분방정식의 분류_ p. 323