문제에 도전하고, 문제를 즐기며, 멋지게 해결하라!

 

옥스퍼드 대학의 입학면접관

포비 교수가 고른

세계 명문대학의 수학, 과학 입학시험 문제

 

수학 공부가 재미없는 이유를 따지자면 대학 진학을 위해 억지로 해서가 아닐까? 대학 입학이라는 부담을 버리고 수학능력시험의 수학 문제를 다시 들여다보면 생각보다 재미난 구석이 있을지 모를 일이다. 많은 나라의 대학 교수들이 종종 교과서 밖에서 독특한 문제들을 뽑아 지원자의 사고력과 응용력을 시험한다. 이런 문제들은 평범한 사람들도 골똘히 몰두하게 할 정도로 흥미롭다.

이 책은 옥스퍼드대학의 입학시험 문제를 출제하고 면접관으로 참여했던 포비 교수가 자신의 전공인 물리학과 수학 분야에서 실제 출제되었던 문제들 중 가장 좋아하는 것들을 예비 대학생 수준에 맞게 정리한 것이다. 호기심과 재미를 북돋우려고 만들어진 문제와 대학 입학시험에서 사용되는 표준적인 문제가 고루 섞여 있다. 보기에는 만만치 않지만 고등학교에서 기초를 튼튼히 닦은 학생들이라면 어렵지 않게 풀 수 있을 거라고 저자는 말한다. 무엇보다 세계적인 명문 대학의 입학시험 문제를 방구석에 앉아서 풀어볼 수 있다는 것만으로도 매력적이다.

책을 읽을 때는 틈나는 대로 아무 쪽이나 펼쳐 봐도 좋고, 기간을 정해 두고 집중적으로 탐구해도 좋다. 다만 문제 풀이의 즐거움을 잃지 않도록 난이도를 표시한 별의 개수는 참고하는 게 좋다. 별로 어렵지 않은 문제의 별 하나(★)부터 예외적으로 어려운 문제의 별 네 개(★★★★)에 이르는 등급 표시가 도움이 될 것이다.

[목 차]

머리말 - 이상한 여정

 

1장 기하학

2장 수학

3장 정역학

4장 동역학과 충돌

5장 원운동

6장 단진동운동

7장 터무니없는 발명과 영구운동

8장 동역학

9장 전기

10장 중력

11장 광학

12장 열

13장 부력과 유체 정역학

14장 추정

 

후기

[본 문]

당신은 대학 입학시험을 위해 또는 대학에 들어간 뒤 생활을 위해 잘 준비시켜 주기를 바라면서 이 책을 읽고 있을지 모른다. 나는 이 책이 그 두 가지를 다 해 주기를 바란다. 하지만 강의 요강을 더 자세하게 다뤄서가 아니라, 흥미와 모험심을 가지고 더 어렵고 더 특이하고 더 자유로운 답이 가능한 문제들에 도전해 보라고 용기를 줘서 그러고 싶다. - 25쪽, 이상한 여정

 

“정말 비범하군, 홈스. 자네가 어떻게 그렇게 하는지 모르겠네, 정말 모르겠어.” 왓슨이 창밖을 살펴보더니 말한다.

“이건 기본적인 탄도학이야, 왓슨. 움직이는 물체가 같은 질량의 정지한 물체와 탄성충돌을 하면, 그 물체들은 항상 서로 직각으로 흩어진다네. 자네는 당구를 칠 때마다 이와 비슷한 걸 본다네. 하지만 자네가 알아채지 않는 쪽을 택했지.”

이제 홈스와 왓슨이 다루던 문제를 풀어 보자.

질량이 같은 물체들의 탄성충돌에서 그중 하나가 원래 정지 상태였다면, 물체들이 항상 서로 직각을 이루며 흩어진다는 것을 보이라. - 185쪽, 동역학과 충돌

 

대부분의 자극적인 쇼에서 자동차들이 트랙에서 경주하는 동안 곡예사들이 자동차와 오토바이 옆에서

곡예를 펼친다. 이런 공연을 담은 비디오가 많다. 죽음의 공은 이보다 더 짜릿하다. 이것은 오토바이가 강철 그물망으로 만들어진 구면 안을 돌면서 달리는 것이다. 죽음의 공 안에서 도는 오토바이 수의 최대 기록은 열 대로, 2010년 중국 곡예단의 공연에서 나왔다.

지름이 12m인 죽음의 벽을 도는 자동차를 생각하자. 자동차의 중력 중심은 벽에서 1m 떨어져 있고, 같은 차축에 있는 바퀴는 2m 떨어져 있다고 가정하자. 정지마찰계수가 다음과 같을 때 최소 속력을 계산하라. - 214쪽, 원운동

 

열에 관한 이 짧은 장에서는 입체의 열전달과 관련된 개념적인 문제들 그리고 시간에 따라 달라지는 또는 순간적인 열전달 문제들을 살펴본다. 이 문제들을 푸는 데는 열이 무엇이며 그것을 어떻게 저장하는지, 그리고 어떻게 열이 거시적 수준에서 입체에 영향을 미치는지 같은 기초적이고 직관적인 지식 정도만 필요할 것이다. 또 열이 뜨거운 곳에서 차가운 곳으로, 즉 열 그래디언트의 맞은편으로 온도의 차이와 넓이에 비례하는 빠르기로 전달된다는 것을 알아야 한다. 그러나 문제를 보기 전에, 일반적으로 유용한 개념들에 대해 좀 더 공식적으로 서술하겠다. - 388쪽, 열