정보 정리부터 미분·적분 개념까지

왜 의사결정을 하는 데 수학이 필요할까?

 

이 책에서는 의사결정의 질을 높이기 위해 ‘수학’을 활용할 것을 제안한다. 왜냐하면 수학은 오랜 역사 속에서 다듬어진 ‘논리적 사고를 위한 도구’이기 때문이다. 수학적 사고력을 자유자재로 구사하면, 더 적확한 의사결정을 내릴 수 있다. 이 책은 학교 교육처럼 지식을 시험하기 위한 것이 아니다. 그보다 일상이나 직장에서 어떤 결정을 내려야 할 때, 수학적 관점을 활용해 더 나은 선택을 할 수 있도록 돕는 것이 목표이므로, 차근차근 따라가 보자!

[목 차]

들어가며

 

제Ⅰ부

제1장 정보 정리하기

분류

중복과 누락이 없는 분류=MECE 한 분류

분류의 효과 ① 어려움이 분해된다

수학에서의 어려움 분해

분류의 효과 ② 정보량이 많아진다

왜 꼭 MECE여야 할까?

표의 이용

표를 이용해야 할 상황과 그 효과

교차표와 카르노 도표

네 종류 그래프

기술 통계의 기본

수량을 비교하는 ‘막대그래프’

시간에 따른 변화를 나타내는 ‘꺾은선그래프’

구성비를 비교하는 ‘원그래프’

시간에 따른 구성비 변화를 보여주는 ‘띠그래프’

도식화

분수의 나눗셈 도식화하기

도식화의 효과

도식화하기 적절한 정보란

체크 리스트

체크 리스트의 효과

체크 리스트 작성 포인트

 

제2장 이번에야말로, 나눗셈 이해하기

등분제와 포함제

나눗셈은 곱셈의 역산

등분제란

포함제란

비율

비율이 낯선 어른은 많다

비율 바꾸어 읽기

기준이 다른 수치 비교하기

비율 도식화하기

비율은 포함제

단위량당 크기

단위량당 크기는 등분제

단위량당 크기 산출법

숫자의 의미를 쉽게 전달한다

 

제3장 계산(암산) 요령 익히기

소수와 분수의 관계

특별한 소수가 나오는 곱셈

특별한 소수가 나오는 나눗셈

제곱수

제곱수 암기가 도움이 될 때

차가 짝수인 두 수의 곱셈

19단까지의 곱셈

19단까지의 곱셈을 암산하는 순서

이 방법이 통하는 이유

도식화하면……

근삿값 구하는 법

근삿값 간의 곱셈

‘거의 역수’의 이용

 

제4장 수치화 귀신 되기

정량화

정성적과 정량적

정량적이 되어라

유효 숫자와 친해지기

유효 숫자의 기초

유효 숫자의 효과

유효 숫자 계산

큰 수 다루는 법

한국식 숫자 세기와 영미식 숫자 세기

페르미 추정

‘근삿값’ 추정의 달인 엔리코 페르미

‘근삿값’ 추정의 의의

페르미 추정의 순서

스케일 다운의 묘미

우주 스케일 다운

국가 예산 스케일 다운

 

제Ⅱ부

제5장 논리적으로 생각하기

정의 확인

‘상식’은 통하지 않는다

의미가 모호해지기 쉬운 표현

필요조건과 충분조건(1)

오해하기 쉬운 ‘필요’와 ‘충분’의 뜻

필요조건과 충분조건(2)

선택할 때는 필요조건을 거듭 따져라

명제와 진위

증명할 때는 충분조건을 생각하라

대우-논리 왜곡 꿰뚫어 보기

명제의 역·이·대우

명제와 대우의 진위가 같은 이유

귀류법-불가능을 증명하는 방법

귀류법이란

귀류법이 힘을 발휘하는 상황

 

제6장 곱셈식으로 사고하기

매트릭스 작성법

아이젠하워 매트릭스

차원을 늘려 혁신을 일으키다

차원이란

빅뱅과 허수 시간-차원에 숨겨진 가능성

새로운 방향으로 차원을 늘리다

 

제7장 게임 이론 알기

죄수의 딜레마

합리적인 선택이 최고의 선택이 아닌 경우

죄수의 딜레마 응용 예시

죄수의 딜레마 해결법

게임 이론의 기원

‘비협력자’를 처벌하기

순차 게임

순차 게임이란

역진 귀납법

 

제Ⅲ부

제8장 확률 올바르게 이해하기

지성으로 헤아리기(1) 순열

경우의 수를 세는 4가지 방법

순열의 수 구하기

계승

지성으로 헤아리기(2) 조합

조합의 수 구하기

확률-미래의 가능성 수치화하기

확률이란 ‘일어나기 쉬운 정도’

확률은 세 종류다

기댓값

기댓값이란

기댓값 구하기

 

제9장 통계 이해하고 활용하기

다양한 평균

산술 평균 arithmetic mean

기하 평균 geometric mean

조화 평균 harmonic mean

n 제곱근이란

표준 편차

통계는 두 종류다

표준 편차란

분산과 표준 편차

편차의 평균이 반드시 0이 되는 이유

가설 검정

가설 검정이란

가설 검정 순서

가설 검정의 주의점

 

제Ⅳ부

제10장 구체와 추상

사고 실험

사고 실험 사례 ① 테세우스의 배

사고 실험 사례 ② 학과 거북

사고 실험 활용법

사고 실험 훈련법

적절한 비유 들기

비유가 효과적인 이유

수학에 능한 사람은 비유도 능하다

적절한 비유 드는 법

귀납과 연역 활용법

귀납법과 연역법

귀납법의 약점

연역법의 약점

귀납적 사고와 연역적 사고 조합하기

토폴로지적 사고법

토폴로지란

나이키와 애플의 협업

토폴로지적 사고법을 기르는 법

 

제11장 미분·적분식 사고 기르기

미분

미분은 ‘미시적 관점’

미시적 관점이 가져온 성공

미분하면 숨은 정보가 드러난다

적분

적분은 ‘거시적 관점’

거시적 관점이 가져온 성공

미적분학의 기본 정리

미시와 거시

미분과 적분의 기원

미적분학의 기본 정리의 발견

떼려야 뗄 수 없는 관계

 

나오며

[본 문]

MORS의 법칙에서 가장 중요한 조건은 바로 ‘M’인 Measured(측정할 수 있다)일 것이다. 측정할 수 있다는 말은 수치화된다는 뜻이고, 수치로 나타내면 객관성과 재현성이 갖추어져 구체적인 정보가 되기 때문이다. 비즈니스 현장에 서본 사람이라면 한 번쯤 ‘정성적으로 말고, 정량적으로 표현해주세요’라는 말을 들어본 적 있을 것이다. 정성적은 ‘물질의 상태를 불연속적인 성질의 변화에 주목해 파악하는 것’으로 정의하며, 정량적은 ‘물질의 상태를 연속하는 수치의 변화에 주목해 파악하는 것’으로 정의한다.

제4장 수치화 귀신 되기

 

수학에서 말하는 ‘필요조건’과 ‘충분조건’은 일상에서 쓰는 ‘필요’와 ‘충분’과 구분해서 생각하는 편이 좋다. 일상 언어는 다양한 상황에서 사용하기 때문에 같은 단어라도 상황에 따라 뜻이 달라지지만, 수학 용어인 ‘필요조건’과 ‘충분조건’은 문자나 식의 관계를 엄밀하게 나타낸다. ‘P이면(⇒) Q다’라는 형식의 문장이 있고 그 문장이 옳을 때, ‘이면(⇒)’ 앞에 오는 것이 ‘충분조건’이고 뒤에 오는 것이 ‘필요조건’이다. 외워두면 좋다. 앞의 그림에서, 한쪽이 다른 쪽에 완전히 포함되면 작은 쪽이 충분조건, 큰 쪽이 필요조건이라고 생각해도 좋다.

제5장 논리적으로 생각하기

 

‘죄수의 딜레마’를 실생활에 적용해보자. 죄수의 딜레마가 생기는 상황은 상대방이 협력하든(침묵하든) 협력하지 않든(자백하든), 자신은 협력하지 않는 편이 이득인 이해관계일 때다. 이런 사례는 가격 인하 경쟁, 공공질서 문제, 환경 문제 등 다양하다. 죄수의 딜레마는 ‘개개인이 합리적인 판단에 따라 행동하면 사회 전체가 건강하게 유지된다’는 사회 통념을 뒤집는다. 이 이론은 경제학, 사회학, 철학 등에 아주 큰 영향을 미쳤다.

제7장 게임 이론 알기

 

토폴로지는 종종 ‘부드러운 기하학’이라고 불리는데, ‘부드러운’에는 2가지 의미가 있다. 하나는 다루는 도형의 재료가 부드럽다는 의미고, 다른 하나는 보통 ‘다르다’고 여기는 것을 ‘같다’고 보는 유연한 사고가 요구된다는 의미다. 사례로 든 머그컵과 도넛은 전혀 다른 형상처럼 보인다. 그러나 둘 다 ‘구멍이 하나다’라는 공통점이 있으므로, 토폴로지에서는 이 둘을 ‘같다’고 본다.

제10장 구체와 추상