복잡한 매듭, 그림을 통해 수학으로 증명한다!

수학적 사고로 푸는 그림 속 매듭과 고리

‘수학’이라고 하면 흔히 복잡한 계산을 떠올리기 쉽지만, 이 책이 다루는 매듭 이론은 다르다. 매듭 이론은 숫자 대신 매듭과 고리를 수학적으로 연구하는 위상수학의 한 분야이며, 수식 없이 그림으로만 채워 탐구하는 다소 낯설지만 매력적인 세계이다.

이 책은 복잡한 매듭을 그림을 통해 쉽게 풀어내, 매듭 이론을 처음 접하는 사람도 부담 없이 즐길 수 있도록 구성했다. 풍부한 삽화와 예시, 연습문제를 통해 일상에서 흔히 볼 수 있는 다양한 매듭부터 고리의 불변량과 풀림수, 라이데마이스터 변형까지 차근차근 따라가며 이해할 수 있도록 구성하였다. 또한 복잡하게 얽힌 끈을 하나씩 풀어가듯 난이도를 서서히 높여 가며 끝까지 학습할 수 있게 하여, 3채색 가능성, 간이 고리수, 불변량의 개념처럼 전문적인 내용도 시각적 비유와 연습문제를 통해 자연스럽게 받아들일 수 있을 것이다.

 

매듭을 통해 수학을 보고, 그림을 통해 수학을 생각하는 경험. 이 책과 함께라면, 수학이 단순한 계산의 영역을 넘어 창의적이고 직관적인 사고의 세계임을 새롭게 발견하게 될 것이다.

[목 차]
  

머리말

 

제1장 매듭

1 일상에서의 매듭

2 묶여있다는 것은 어떤 상태인가?

3 매듭법을 설명한다

 

제2장 매듭 이론으로, 무엇을?

1 매듭과 고리

2 같은 매듭 · 다른 매듭

 

제3장 고리를 살펴보기 위해서는

1 종이에 고리를 그려보자

2 고리의 다이어그램 - 기약 다이어그램

3 매듭 이론의 목표

 

제4장 다양한 고리

1 일상에서의 매듭으로부터 얻어진 매듭

- 옭 매듭 / 마디 매듭 / 8자 매듭 / 부둣가 매듭 / 날개 매듭 / 맞매듭(스퀘어 매듭) / 외과의사 매듭 / 세로 매듭(그래니 매듭) / 솔로몬의 매듭 / 보로메오 고리

2 수학적인 의미를 가진 고리

- 고리 계열 / 분리 가능한 고리 / 거울에 비친 고리 / 합성 매듭 / 프라임 매듭

 

제5장 그래프와 매듭

1 평면 그래프

2 오일러 공식 - 오일러 공식의 확장 증명

3 매듭의 다이어그램과 평면 그래프

 

제6장 그려진 고리를 변형하자Ⅰ

1 같은 다이어그램 · 다른 다이어그램

- ‘같다’가 무슨 말인가? / ‘같은’ 평면 도형

2 평면의 동위 변형 - 같은 도형이란?

3 고리 다이어그램의 동위 변형

4 같은 고리를 나타내는 다른 다이어그램

- 자명 다이어그램 / 교대 매듭

 

제7장 고리의 표를 만들자

1 고리의 복잡도 기준

2 매듭을 나열하기 위해서는

- 매듭의 최소 교점수 / 최소 교점수를 결정하기 위해서는 / 교점의 수가 1 또는 2인 다이어그램에서 얻어지는 매듭은?

3 교대 다이어그램과 최소 교점수

4 매듭표의 작성

 

제8장 그려진 고리를 변형하자Ⅱ

1 평면의 동위 변형으로 이동하지 않는 같은 고리의 다이어그램

2 라이데마이스터 변형이란?

3 라이데마이스터 변형을 사용해 보자

- 교점을 늘리는 라이데마이스터 변형만 가능한 다이어그램

 

제9장 고리의 지문

1 불변량이란?

- 사람의 불변량 / 평면 도형의 불변량

2 고리와 다이어그램의 불변량

- 고리의 불변량 / 고리 다이어그램의 불변량

 

제10장 그 고리, 정말로 얽혀 있어?

1 간이 고리수란?

2 간이 고리수를 구해보자

3 계산의 예와 이를 통해 알 수 있는 것

 

제11장 매듭이 정말로 묶여 있을까?

1 고리의 3채색 가능성이란?

- 고리 다이어그램의 3채색

2 3채색 가능 여부를 알아보자

- 호프 고리의 3채색 가능성 / 8자 매듭의 3채색 가능성 / 3채색 가능성에 관한 연습문제

3 3채색 가능 여부의 판정 결과를 통해 알 수 있는 것

 

제12장 불변성의 증명

1 간이 고리수의 불변성 증명

- 평면의 동위 변형 / 라이데마이스터 변형 I / 라이데마이스터 변형Ⅱ / 라이데마이스터 변형Ⅲ

2 3채색 가능성의 불변성 증명

- 평면의 동위 변형 / 라이데마이스터 변형 I / 라이데마이스터 변형Ⅱ / 라이데마이스터 변형Ⅲ

 

제13장 고리를 풀자

1 교차 교환과 매듭의 풀림수(unknotting number)

2 고리 풀림수 - 교차 교환과 간이 고리수

 

부록 / 매듭과 고리의 표

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