★★하버드대학교 수학과 명예교수·필즈상 수상자 야우 싱퉁이 따라간

우주와 시공간의 비밀을 밝히는 기하학의 발자취!★★

일반상대성이론 이후 수학적 발전을 총망라하는 물리학과 수학의 최전선

 

시공간을 설명하는 방정식과 우주론들은 어떻게 탄생했는가?

수학과 물리학이 함께 써내려간 놀라운 발견의 대서사시

2023년 여름, 국제 천체물리학 연구팀 나노그래브(NANOGrav, 북미 나노헤르츠 중력 연구소)는 중력파를 검출하여 그 존재를 확인했다. 2015년 LIGO의 중력파 발견 이후 가장 중요한 물리학의 업적인 이 사건은 아인슈타인이 1915년에 발표한 단 하나의 방정식에서 비롯되었다. 하지만 이는 결코 아인슈타인 개인과 물리학이라는 단일한 학문 분야만의 성취가 아니었다. 그것은 수학의 언어가 아니었다면 결코 도달할 수 없는 아이디어였다.

《수학의 중력》은 물리학의 언어로만 여겨졌던 중력 이론이 사실 수학과 물리학이 긴밀하게 얽혀 태어났음을 밝히며, 일반상대성이론의 발전사를 새로운 시각에서 조명한다. 수학이 만들어낸 아인슈타인의 방정식은 우주의 깊은 신비가 숨어있는 블랙홀 내부의 특이점과 초끈이론의 미지의 차원에 이르기까지, 현대 수학과 물리학의 최전선으로 이어진다.

이 책은 저명한 수학자이자 필즈상 수상자인 야우싱퉁과 과학 저널리스트 스티브 네이디스가 함께 집필했다. 야우싱퉁은 일반상대성이론의 주요 난제였던 ‘양수 질량 추측’을 해결했으며, 끈이론의 근본 구조로 여겨지는 칼라비-야우 다양체의 존재를 증명한 세계적 석학이다. 이 책에서 야우싱퉁은 50여 년에 걸쳐 탐구해온 일반상대성이론과 수학의 관계를 집대성했다. 그가 평생 동안 해온 수학적 탐구와 업적이 오롯이 담긴 이 책은 우리가 살고 있는 우주를 더욱 깊고 풍부하게 이해할 수 있도록 이끌어준다.

야우싱퉁은 젊은 시절 기하학을 연구하다 물리학 강의를 들으며 ‘중력’이라는 물리적 현상이 곧 ‘곡률’이라는 기하학적 개념과 연결된다는 사실에 충격을 받았다. 그 뒤로 그는 일반상대성이론의 수학적 기반을 깊이 연구했고, 블랙홀·양수 질량 정리·양자중력 같은 핵심 문제에 수학적 해법을 제시해왔다. 이 책은 그의 긴 여정에서 발견한 통찰을 담고 있다.

[목 차]
  

들어가며 물리학과 수학이 함께 추는 춤

전주곡 원뿔을 자르는 방법은 하나만이 아니다

 

1장 낙하하는 물체, 패러다임의 전환

: 특수상대성이론과 중력 이론의 실마리

 

2장 일반적인 길로 향하는 여정

: 리만 기하학과 일반상대성이론의 발전

 

3장 비선형적 상호작용

: 중력장 방정식의 완성

 

4장 가장 특이한 해답

: 방정식의 첫 번째 해, 블랙홀과 특이점

 

5장 중력의 파동을 찾아서

: 중력파 존재의 수학적 증명과 관측

 

6장 우주 전체의 방적식

: 일반상대성이론이 탄생시킨 현대 우주론

 

7장 물질의 질량

: 양수 질량 추측과 질량의 정의

 

8장 통일을 위한 탐구

: 통일 이론과 양자중력 그리고 끈이론

 

후주곡 진정한 ‘미스터리 스폿’이 숨겨진 곳

나가며 일반상대성이론의 지난 반세기를 돌아보며

옮긴이의 말

미주

찾아보기

[본 문]
  

이 깨달음을 바탕으로 아인슈타인은 중력을 기하학화할 수 있는 개념적 도식을 생각해냈다. 민코프스키가 특수상대성이론을 기하학화한 것처럼 말이다. 하지만 아인슈타인의 위대한 깨달음은 이야기의 끝이 아닌 변곡점에 지나지 않았다. 이제 다음 단계로 나아가야 했다. 수학적인 정식화를 거쳐 시공간 곡률과 그와 관련된 중력 효과 사이의 정확한 연관성을 모조리 밝혀낼 방법을 찾아야 했던 것이다. 바로 그게 문제였다. 아인슈타인은 앞으로 남은 길이 “생각보다 더 험난했다”고 말했는데, “유클리드 기하학을 포기해야 했기 때문”이었다. 그것은 자신이 알고 있던 수학을 포기하고 곡면 시공간이라는 낯설고 이상한 영역으로 뛰어들어야 한다는 뜻이었다. (68쪽)

 

중력장 방정식은 기존에는 서로 무관한 것으로 여겨졌던 두 가지 현상을 하나로 묶음으로써 아인슈타인이 오랫동안 믿었던 전제를 입증한다. 시공간 곡률 또는 중력이 대부분 질량과 에너지 분포로 결정되며 그 반대도 마찬가지라는 사실을 말이다. 중력장 방정식의 좌변은 시공간 곡률을 나타내며, 우변은 질량과 에너지를 나타낸다. 다시 말해, 아인슈타인의 방정식은 우리가 중력이라고 불렀던 것이 사실 힘이 아니라고 말해준다. 중력은 단지 시공간 곡률의 결과일 뿐이다. (123쪽)

 

이처럼 그로스만은 일반상대성이론이 완성되는 과정에서 분명 ‘카메오’ 이상의 역할을 수행했다. 하지만 그는 결코 주목받으려 하지 않았다. 오히려 일반상대성이론의 공동 발견자라고 주장하지 않고 망설임 없이 친구의 노력에 박수를 보냈다. “1912년과 1913년에 아인슈타인의 첫 번째 고된 시도를 목격한 사람이라면, 마치 선율을 짓는 작곡가처럼 범접할 수 없는 산을 한밤중에 오르는 듯 보였을 것이다. 길이라곤 전혀 없고 방향도 모르며 발디딜 곳 하나 없는 산을 말이다. 경험과 추론은 오직 몇 안 되는 불안정한 발판만을 제공했을 뿐이다. 그러므로 우리는 이 지적인 위업을 더 높게 평가해야 한다.” (126쪽)

 

1915년 12월 22일, 슈바르츠실트는 아인슈타인에게 편지를 보냈다. 그리고 질점 바깥에 있는 중력장(질점 위치에 있는 중력장은 제외)에 대해 설명했다. 불과 4주 전에 발표된 일반상대성이론 장방정식의 정확한 해를 처음으로 구한 결과였다. 엄밀히 말하면 장 방정식과 관련된 비선형 미분방정식의 수학적 해를 구한 것이었지만, 슈바르츠실트의 결과는 해당 상황에서 적용될 물리학의 앞길을 밝힌 셈이었다. (149쪽)

 

슈바르츠실트가 별 모형 내부에서 발견한 것은 정말 놀라웠다. 별의 질량 M이 충분히 작은 구형 영역(반지름 r)에 밀집되어 있다면(즉 M/r이 어떤 문턱값[Threshold value]을 넘는다면), 그 어떤 것도 별의 강력한 중력에서 벗어날 수 없다. 심지어 빛조차도 말이다. (151쪽)

 

앞서 살펴보았듯이 중력파의 발견은 물리학과 수학 그리고 컴퓨터과학이 절묘하게 뒤섞인 결과였다. 그 후로 두 블랙홀 또는 두 중성자별이 병합하거나 적어도 한 사례에서는 블랙홀이 중성자별과 합쳐지는 등 100건에 가까운 중력파 사건이 LIGO와 비르고에서 감지되었다. 지상과 우주에 더 강력한 망원경이 투입된다면 의심할 여지 없이 더 많은 현상이 관측될 것이다. (212쪽)

 

우주 팽창에 대한 예측은 수학에서 출발하여 나중에 실험으로 검증되었다. 하지만 물론 이것이 이야기의끝은 아니다. 몇 가지 분명한 의문점이 제기되었기 때문이다. 우주가 팽창하는 이유는 무엇일까? 그리고 우주는 정확히 무엇으로부터 팽창하고 있었을까? (230쪽)

 

일반상대성이론은 처음부터, 또 어떤 의미에서는 이 분야가 ‘공식적으로’ 출범하기 전부터 수학자와 물리학자의 협력을 바탕으로 발전했다. 이것은 20세기 초만이 아니라 오늘날도 마찬가지다. 때로는 따로따로 발전하기도 한다. 한쪽 진영에서는 물리학자들이, 다른 쪽 진영에서는 수학자들이 연구를 수행하면서 말이다. 그러나 이러한 노력이 얽히고설켜 서로를 보강할 때, 우주와 그 내부의 불가사의한 대상을 이해하려는 탐구가 더욱 확실한 토대 위에 놓일 것이라고 우리는 확신한다. 설령 그 토대가 시공간이라는 언뜻 비현실적으로 보이는 4차원 혼합체로 드러나더라도 말이다. (292쪽)

김상현 (고등과학원 수학부 교수·《수학은 상상》 저자)

“진리보다는 아름다움을 우선한다”는 수학자 헤르만 바일의 말에 잘 드러나듯, 수학자는 심미주의자이다. 아무리 아름다워도 현실에 어긋나는 이론은 용납할 수 없는 물리학자와는 다르다. 그런데 신비하게도 물리학자의 우주는 엄밀한 수학적 이론을 따른다. 반대로, 수학자의 모든 방정식 중 가장 아름다운 것은 우주의 방정식이다. 이렇게 신비하고도 필연적인 협력으로 지난 세기 인류는 급진적 발전을 이루었다. 그 현장에 있던 야우싱퉁은 핵심을 꿰뚫는 수학적 서사로 중력과 상대성이론을 설명하고 있다. 독특한 주제, 쉽고 독창적인 설명, 저자의 경외감이 어우러져 손에서 놓을 수 없는 매력적인 책이다.

 

윤진희 (인하대학교 물리학과 교수·한국물리학회 회장)

현대 과학의 오랜 역사 동안 때론 협력으로 때론 경쟁으로 함께 발전해온 수학과 물리학의 숨가쁜 여정을 생생하게 보여준다. 저자의 말을 빌려, “물리학자들이 건네준 생각지도 못한 아이디어를 수학적 용어로 재구성하고 증명”하는 과정을 통해 순수 수학, 특히 기하학의 관념이 어떻게 블랙홀이나 중력파, 팽창하는 우주 등에 대한 인간 지식의 한계를 돌파하게 했는지에 놀라게 될 것이다.