중·고등학교 수학의 흐름과 핵심을 한 권에!

알아만 두어도 세상이 재미있어지는 수학 길잡이

 

데이터사이언스와 AI 분야가 발전하면서 수학을 배우고 싶어 하는 사람들은 늘어나고 있지만, 그 방대한 범위를 처음부터 다시 공부하기란 사실상 어렵다. 이 책은 그러한 이들이 짧은 시간을 투자해 궁금한 것들을 알아갈 수 있도록, 중요한 수학 용어를 대략적으로 설명하고 이해를 돕기 위해 다양한 그림을 실었다. 반드시 첫 페이지부터 읽지 않아도 되며, 사전처럼 자신에게 필요한 부분부터 펼쳐 읽으면 된다. 이 책을 통해 굵직한 수학 개념들을 이해하고 실무에서 활용해보자!

[목 차]

 

시작하며

 

제1장. 대학교 입학시험에도 나오는 산수 용어

01 약수, 공약수, 최대공약수

02 소수

03 에라토스테네스의 체

04 서로소, 기약분수

05 완전수

06 부분분수 분해

07 원주율

 칼럼: 도쿄대학교 입학시험에 나온 원주율 문제

08 육십분법, 호도법과 라디안

09 이름이 어려운 회전체

 

제2장. 루트에 관련된 수학 용어

01 제곱근의 정의

02 분모의 유리화

03 황금비와 금강비

04 피타고라스 정리

05 피타고라스의 세 쌍

06 택시 수와 라마누잔

 

제3장. 수와 식에 관련된 수학 용어

01 정의, 정리, 공식, 명제

02 결합법칙, 교환법칙, 분배법칙

03 절댓값

04 가우스 기호

05 집합

06 거듭제곱, 지수, 차수, 멱승, 오름차순, 내림차순

07 필요조건, 충분조건, 필요충분조건

08 명제의 역, 이, 대우

 

제4장. 방정식과 관련된 수학 용어

01 방정식과 항등식

02 부등식과 절대부등식

03 산술평균-기하평균의 부등식

04 인수분해

05 암호

06 근의 공식, 판별식, 켤레

 

제5장. 함수와 관련된 수학 용어

01 좌표평면(데카르트 평면)

02 함수

03 일대일 대응

04 일차함수

05 직선 영역과 선형계획법

06 이차함수

07 제곱완성, 제곱식, 완전제곱식

08 위로 볼록, 아래로 볼록

 칼럼: 수학에서 오목(凹)은 사용하지 않을까?

09 점과 직선의 거리의 공식

10 멱함수와 지수함수

11 로그(log, ln)

12 삼각비(sinθ, cosθ, tanθ)

13 삼각함수(sinx, cosx, tanx)의 정의

14 덧셈정리

15 삼각함수의 합성

 

제6장. 복소수와 관련된 수학 용어

01 허수, 순허수와 복소수

02 복소평면(가우스 평면)

03 복소수의 곱과 드무아브르의 정리

04 조립제법

05 네이피어의 수, 오일러의 공식, 오일러의 등식

 칼럼: 눈에 보이지 않는 복소수는 어떤 역할을 할까?

 

제7장. 수열과 관련된 수학 용어

01 등차수열

02 등비수열

03 Σ 기호와 Π 기호

04 점화식

05 피보나치 수열

06 계차수열의 일반항

07 연역법과 귀납법

 

제8장. 확률과 관련된 수학 용어

01 확률과 관련된 용어

02 큰 수의 법칙

03 순열(P)과 계승(!)

04 같은 것을 포함하는 순열과 조합(C)

05 중복순열(Π)과 중복조합(H)

06 완전순열과 몽모르 수

07 조건부확률

08 베이즈 정리

 

제9장. 통계와 관련된 수학 용어

01 기술통계와 추론통계

02 척도

03 막대그래프와 꺾은선그래프

04 대푯값

05 평균값, 중앙값, 최빈값

06 분산과 표준편차

07 표준화와 편차치, 표준점수

08 학업 성취 점수

09 확률변수와 확률분포

10 기댓값(평균값)

11 베르누이 시행과 이항분포

12 푸아송 분포

13 정규분포

14 산점도와 상관계수

15 점 추정과 구간 추정

16 가설 검정

 

제10장. 미적분과 관련된 수학 용어

01 함수의 극한

02 평균변화율, 순간변화율, 미분계수, 도함수

03 미분

04 극값

05 위로 볼록, 아래로 볼록과 변곡점

06 접선, 법선

07 적분

08 미분과 적분의 관계

09 구분구적법

10 미적분의 기본정리

11 원시함수와 부정적분

 

제11장. 벡터와 관련된 수학 용어

01 벡터와 스칼라

02 위치벡터와 벡터의 성분

03 일차독립과 일차종속

04 벡터의 내적

 

제12장. 도형과 관련된 수학 용어

01 삼각형의 오심

02 내분점과 외분점과 아폴로니우스의 원

03 원주각의 정리, 탈레스의 정리, 접현 정리

04 메넬라우스의 정리와 체바의 정리

05 사인 법칙, 코사인 법칙

06 톨레미의 정리

07 내접원의 반지름

08 헤론의 공식과 브라마굽타의 공식

 

찾아보기

 

[본 문]

 

완전수라는 명칭은 ‘만물의 근원은 수’라고 했던 피타고라스가 붙인 것으로 알려져 있다. 고대 그리스 시대에 발견된 완전수는 6, 28, 496, 8128이다.

지금까지 예로 든 완전수는 모두 짝수이다. 홀수인 완전수가 있는지는 아직 밝혀지지 않았다. 또한 완전수의 개수가 무한한지 유한한지도 밝혀지지 않았다. 완전수의 정의는 단순하지만, 완전수와 관련하여 아직 해결되지 못한 문제는 많이 남아 있는 것이다.

_제1장 ‘05. 완전수’

 

중학교 수학 이후에는 문자를 자주 사용하기 때문에 구체적인 수를 구해야 하는 경우가 줄어들지만, 마지막 식까지 계산하여 구체적인 수를 알아내는 것은 매우 중요하다. 그렇기 때문에 구체적인 수를 파악하기 위하여 분모를 유리화하는 것이다.

반대로 말하면, 구체적인 수를 알아내지 않아도 되는 경우에는 분모를 유리화하지 않아도 된다. 학생들을 가르치다 보면 “왜 이번에는 분모를 유리화하지 않나요?”라고 질문해올 때가 있는데, 구체적인 수를 파악할 필요가 없는 문제를 풀 때에는 분모를 유리화하지 않아도 된다는 점도 기억해두기 바란다.

_제2장 ‘02. 분모의 유리화’

 

이유를 불문하고 참이라고 인정하는 것을 공리라고 한다. 이론의 전제가 되는 가정이 없어도 또는 증명하지 않아도 참이라고 받아들여지는 것이라고 이해해도 좋다. 예를 들어, ‘아무리 큰 자연수 n이라고 해도 그 수의 다음 자연수인 n+1이 존재한다’도 공리이다.

_제3장 ‘01. 정의, 정리, 공식, 명제’

 

이차방정식의 근의 공식이 가지는 의미는, 이후에 다룰 허수까지 포함하여 ‘이차방정식은 반드시 해가 존재하고, 그 값을 구체적으로 구할 수 있다’는 것을 보장한다는 데 있다. 일반적으로 수학에서의 문제는 풀 수 있는지 없는지 알 수 없다. 하지만 이차방정식은 근의 공식이 있으므로 반드시 풀 수 있다는 것을 알 수 있다.

대학교에서 수학을 배우면 ‘존재성’과 ‘유일성’이라는 개념을 접하게 된다. 즉 해가 존재하는지(존재성), 어떤 방식을 사용해도 얻어지는 해는 한 가지뿐인지(유일성)가 중요하다. 그렇게 중요한 개념인 ‘존재성’과 ‘유일성’을 모두 담고 있는 것이 ‘이차방정식의 근의 공식’이다.

_제4장 ‘06. 근의 공식, 판별식, 켤레’

 

데카르트가 좌표평면이라는 개념을 생각해낼 수 있었던 것은 ‘벌레’ 덕분이었다. 어느 날 잠에서 깬 데카르트는 천장에 붙어 있는 벌레를 보고, 친구에게 벌레의 위치를 어떻게 표현해야 제대로 전달할 수 있을지 고민했다. 그리고 구석에서 오른쪽으로 4, 위로 3인 위치에 벌레가 있다고 표현하면 상대방이 이해할 수 있을 것이라고 생각했다.

_제5장 ‘01. 좌표평면(데카르트 평면)’

 

연역법은 전제 또는 일반적인 법칙과 구체적인 사실을 이용하여 결론을 도출해내는 방법이다. 대표적인 예로는 삼단논법이 있다. 예를 들어 전제 또는 일반적인 법칙을 ‘인간(B)은 언젠가 죽는다(C)’라고 하자. 구체적인 사실은 ‘소크라테스(A)는 인간(B)이다’라고 하면, 결론은 ‘소크라테스(A)는 언젠가 죽는다(C)’가 된다.

_제7장 ‘07. 연역법과 귀납법’

 

여러 개의 대상 중에서 ‘순서를 고려하지 않고 뽑아서’ 한 묶음으로 만들 때 그것 하나하나를 조합이라고 한다. 순서를 고려하지 않기 때문에, 예를 들어 ‘A와 B’를 뽑은 경우와 ‘B와 A’를 뽑은 경우는 같은 것으로 본다. 즉 ‘초밥을 좋아하는 사람은 A와 B이다’와 ‘초밥을 좋아하는 사람은 B와 A이다’는 같은 뜻이다.

_제8장 ‘04. 같은 것을 포함하는 순열과 조합(C)’

 

최근에는 데이터의 중요성이 날로 증가하고 있는데, 데이터를 적절하게 활용할 수 있도록 우리 가까이에서 도움을 주는 것이 통계학이다. 예를 들어 시험 점수와 같은 숫자 데이터를 그냥 보는 것만으로는 그 데이터의 특징을 이해하기 어렵다. 그래서 주어진 데이터로 최고 점수, 평균 점수를 구하기도 하고, 필요에 따라 편차치를 구하기도 하며, 시험의 합격, 불합격을 결정하는 등 의미 있는 숫자로 만드는 것이다. 즉 통계는 단순한 데이터를 가치 있고 의미 있는 정보로 만드는 일이라고 볼 수 있다.

_제9장 ‘01. 기술통계와 추론통계’

 

미분의 바탕이 되는 것은 나눗셈이고, 나눗셈의 바탕이 되는 것은 뺄셈이다. 그렇기 때문에 미분은 ‘차이’를 구할 때에 유용하다. 고등학교 수학에서는 미분을 이용하여 증가와 감소를 알아내고 그래프를 그리는데, 그것은 미분을 함으로써 차이를 알 수 있기 때문에 가능한 것이다.

_제10장 ‘02. 평균변화율, 순간변화율, 미분계수, 도함수’

 

과거 일본의 대학교 입학시험에서는 내접하는 사각형을 이용한 삼각비 문제가 자주 출제되었다. 내접하는 사각형은 기초적인 문제뿐만 아니라, 보조선을 활용하는 응용 문제로도 출제할 수 있어서 폭넓은 학습 능력을 측정하는 시험에 적절한 소재였을 것이다. 하지만 보조선을 활용하는 기술을 익히는 것은 쉬운 일이 아니다. 게다가 시험처럼 긴장감 때문에 평소 실력을 발휘하기 힘든 상황에서는 더욱 어렵게 느껴질 것이다. 그럴 때 우리는 특별한 비법이나 요령에 의지하고 싶어지는데, 내접하는 사각형에 관련된 문제에 응용하기 좋은 정리가 하나 있다. 바로 톨레미(프톨레마이오스)의 정리이다.

_제12장 ‘06. 톨레미의 정리’